Exercices corrigés sur l’électromagnétisme

Sommaire

Équations de Maxwell et équation de propagation
Potentiel créé par un dipôle
Charges dans un triangle équilatéral
Charges aux sommets d’un carré
Champ électrique créé par un plan infini
Condensateur avec 2 plans chargés
Champ magnétique créé par une spire
Champ créé par un solénoïde infini
Champ créé par un solénoïde fini
Champ magnétique créé par un tore
Le rail de Laplace
Spire dans un champ magnétique
Champ tournant avec 3 bobines
Moteur synchrone et champ tournant
Moteur asynchrone et champ tournant
Densité volumique de charge variable
Champ dans une cavité sphérique

Équations de Maxwell et équations de propagation

Rappeler les équations de Maxwell et trouver les équations de propagation des champs B et E dans le vide.

Potentiel créé par un dipôle

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On considère un dipôle constitué d’une charge -q et d’une charge q situés aux points A et B d’abscisse -a et a comme sur la figure ci-dessous.

potentiel créé par un dipôle

On note OM = r, BM = r2 et AM = r1.
On note θ l’argument de M.
Déterminer le potentiel créé par ce dipôle en un point M très éloigné du dipôle en fonction du moment dipolaire p.

Charges au sommet d’un triangle équilatéral

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On considère un triangle équilatéral ABC de côté a. On place une charge q à chaque sommet. On note O le centre du triangle.
1) Calculer le champ électrique en A.
2) Calculer le champ électrique en O.
3) On ajoute une charge q0 au point O. Donner la valeur de q0 pour que les différentes forces se compensent.

Charges au sommet d’un carré

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Même exercice que précédemment mais cette fois-ci avec un carré.
On considère un carré ABCD de centre O et de côté a. On place une charge q > 0 à chacun des sommets.
1) Quel est le champ électrique en O ?
2) Quel est le champ électrique en A ?
3) On ajoute une charge q0 au point O. Donner la valeur de q0 pour que les différentes forces se compensent.

Champ électrique créé par un plan infini

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On considère un plan (x ; y) infini uniformément chargé de densité de charge surfacique σ.
Déterminer le champ électrique E créé par ce plan.

Condensateur avec 2 plans chargés

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On considère 2 plaques de surface S espacées d’une distance d, chargés avec des densités surfaciques de charge σ et -σ.
La plaque chargée σ a un potentiel V1 et la plaque chargée -σ a un potentiel V2, créant une différence de potentiel U.
On obtient le schéma suivant :

Déterminer la capacité C du condensateur. On considérera que d est négligeable devant les dimensions des plaques.

Champ magnétique créé par une spire

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On considère une spire d’axe (Oz) et de rayon R parcourue par un courant i.
Calculer le champ magnétique créé par la spire en un point M de l’axe (Oz) repéré comme ci-dessous :

Champ magnétique créé par un solénoïde infini

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On considère un solénoïde infini d’axe (Oz) constitué de n spires par unité de longueur.
Calculer le champ magnétique créé par ce solénoïde.

Champ magnétique créé par un solénoïde fini

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On considère un solénoïde fini d’axe (Oz) de longueur L et constitué de N spires.
Calculer le champ magnétique créé par ce solénoïde en un point M de l’axe (Oz) repéré comme ci-dessous :

Champ magnétique créé par un tore

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On considère un tore constitué de N spires parcourues par un courant i comme représenté dans le schéma ci-dessous :

Déterminer le champ magnétique créé par ce tore.

Le rail de Laplace

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Cet exercice aborde le rail de Laplace, exercice très classique en induction.
On considère le schéma suivant :

On a un circuit fermé par un rail BC qui coulisse selon l’axe (Ox).
Un champ magnétique B dirigé selon l’axe (Oz) traverse la portion ABCD du circuit.
A t = 0, on lance le rail avec une vitesse V0 dans le sens des x croissants.
On note x(t) la distance DC.

1) Comment évolue la vitesse v(t) du rail ?
2) Etudier l’aspect énergétique du système (on pourra chercher sous quelle forme est dissipée l’énergie initiale).

Spire dans un champ magnétique

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Dans cet exercice, on considère une spire carrée de côté a et de masse m, d’inductance L et de résistance R.
Dans le demi-plan x > 0, on considère un champ magnétique B dirigé selon (Oz).
A t = 0, la spire entre dans le demi-plan x > 0 avec une vitesse v0 :

1) On néglige d’abord l’inductance L de la spire.
Trouver l’expression de la vitesse v(t) de la spire.
Donner l’expression de la vitesse limite v atteinte par la spire.

2) On néglige maintenant la résistance R de la spire.
Trouver l’expression de la vitesse v(t) de la spire.
Quelle est la condition pour obtenir des oscillations ?

Champ tournant créé par 3 bobines

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Remarque : cet exercice est une question préliminaire pour les 2 exercices suivants sur les moteurs synchrones et asynshcrones.
On considère 3 bobines parcourues par un 3 courants de même pulsation ω, de même intensité I0 mais déphasés de 120° l’un par rapport à l’autre, et disposés selon la figure ci-dessous.
Calculer le champ magnétique B total ainsi créé.

Moteur synchrone et champ tournant

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On considère 3 bobines comme étudié dans la vidéo de l’exercice précédent.
On reprendra l’expression du champ B trouvée dans la vidéo précédente.
On ajoute un aimant en rotation autour de l’axe (Oz), de moment dipolaire magnétique M, et faisant un angle ω’t – θ0 avec l’axe (Ox).
1) Calculer le couple associé à ce dipôle puis sa moyenne temporelle.
2) En déduire une condition sur ω’ et justifier l’appellation de moteur synchrone.
3) Y’a-t-il une condition sur θ0 ?

Moteur asynchrone et champ tournant

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Dans cet exercice on reprendra l’expression de B trouvée dans la vidéo sur le champ tournant créé par 3 bobines car on considère là encore 3 bobines dans la même disposition.
On ajoute au centre une bobine de N spires, de surface S, de résistance R, de vecteur normal n et faisant un angle ω’t avec l’axe (Ox).
On admet que le moment magnétique a pour expression :

1) Calculer le couple associé à ce dipôle puis sa moyenne temporelle.
2) En déduire une condition sur ω’ et justifier l’appellation de moteur asynchrone.

Densité volumique de charge variable

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Soit b une constante positive.
Calculer le champ électrique créé par une sphère de centre O et de rayon R, dont la densité volumique de charge est :

CHamp électrique dans une cavité sphérique

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On considère une sphère chargée de rayon R et de densité volumique de charge ρ, présentant une cavité sphérique de rayon a située à une distance d du centre.
Calculer le champ électrique à l’intérieur de la cavité.

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